次の転職先に知られたくないです。 残業代請求の準備は、退職してから着手した方が良いのでしょうか？

弁護士が、前の勤務先との間だけで交渉や裁判をすることになりますので、就職活動先や転職先に知られる可能性はほとんどありません。

もっとも、前の勤務先の人が、嫌がらせで就職活動先や転職先に言うことは考えられますので、前の勤務先の人には就職活動先や転職先を知られないようにしましょう。

そのほかには、就職活動先の人や転職先の人が裁判などをたまたま見てしまうということもあり得ますが、裁判所では毎日多くの裁判が行われていますし、裁判を見に行く人はそれほど多いわけではないので、確率としてはかなり低いでしょう。

残業代請求の準備は、可能であれば在職中から着手しましょう。
労働時間に関する証拠や就業規則等の会社の制度に関する証拠を入手する必要がある場合もありますが、これらは、退職してしまうと入手することが困難となります。残業代請求の準備は、弁護士が依頼を受けた場合でも、証拠の整理や各月の残業代の計算など一定期間の作業が必要となりますので、できるだけ早めにご相談頂き、在職中に残業代請求のための準備を整えておくことをお勧めします。